Матрица (математика)

Ма́трица — математикаҕа объект. Строка уонна столбец холбоһуга, быһа охсуһар быыстарыгар элеменнара бааллар, бэйэтэ көнө муннук таблицаҕа суруллар. Матрица размерын кини строката уонна столбецтара туруораллар.

Матрицалар улаханнык алгебраическай уонна дифференциальнай тэҥнэбили суоттуурга туһалыыллар. Бу түгэҥҥэ матрица строкатын размера тэҥнэбил ахсааныгар тэҥнэһэр, онтон биллибэт элеменнар ахсааннара - столбец ахсаанын. Линейнай тэҥнэбил системата түмүгэр матрицанан суоттанар. Матрицаҕа бу алгебраическай операциялар ананаллар:

тэҥ кээмэйдээх матрицалар эбсэллэр;
барсар кээмэйдээх матрицалар төгүллэһиилэрэ;
ол ахсааныгар матрица векторыгар төгүллээһинэ;
матрицаны сүрүн кольцо эбэтэр поле элеменыгар төгүллээһинэ;

Дакаастаммыта: хас биир n-мернай пространствоҕа сылдьар линейнай операторга соҕотох n-бэрээдэктээх квадратнай матрицаны туруоран биэриэххэ сөп; уонна инник курдук - хас биир n-бэрээдэктээх квадратнай матрицаҕа соҕотох, бу пространствоҕа үлэлиир линейнай оператор туруоран биэриэххэ сөп. Матрица свойствата линейнай оператор свойстволарыгар сөп түбэһэр. Быстах түбэлтэҕэ матрица чыыһылалара - оператор бэйэтин чыыһылалара буолаллар. Билинейнай форма туһунан эмиэ ити курдук этиэххэ сөп. Математикаҕа матрица элбэх арааһа көрүллэр. Ол курдук: единичнай, симметрическай, кососимметрическай, уо. д. а. матрицалар.

Матрица теориятыгар улахан суолталаах оруолу "нормальные формы" - матрица каноническай арааһа оонньуур.

Устуоруйата

Матрица аан бастаан былыргы Китайга үөскээбитэ, "аптаах квадрат" диэн ааттанара. Кини туһата диэн - линейнай уравнениелары суоттааһына этэ. Кыратык хойут "аптаах квадрат" араб математиктарыгар баар буолбута, матрица эбсиитин принциба ол бириэмэлэргэ үөскээбитэ. 17 үйэ бүтүүтүгэр определителлэр туһунан теорияны сайыннарбыттарын кэннэ Габриэль Крамер "Крамер быраабылатын" 18 үйэҕэ саҕалаан баран 1751 сылга биллэрбитэ. Бу бириэмэлэргэ "Метод гаусса" үөскээбитэ. 19 үйэҕэ Уильям Гамильтон уонна Артур Кэли матрица теориятын үөскэппиттэрэ. "Матрица" диэн термины Джеймс сильвестр 1850 сылга айбыта.

Киирии

Матрицалар линейнай тэҥнэбил систематын суоттуурга уонна линейнай кубулуйууга көмө буолаллар.

Линейнай тэҥнэбил системата

Маннык араас линейнай тэҥнэбил систематын көрүоххэ:

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}

.

Бу система $m$ линейнай тэҥнэбилтэн уонна $n$ биллибэттэн турар. Кини бу курдук суруллуон сөп :

Ax=b

,

манна

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}};\quad x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}};\quad b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}

Матрица $A$ - линейнай тэҥнэбил систематын коэффициенынан буолар, вектор-столбец $x$ — биллибэт вектор, онтон туруору вектор $b$ — ханнык эрэ бэриллибит вектор. Система суоттанарын гына, хайаан даҕаны вектор $b$ остуолба линейнай комбинациятынан буолуон наада $A$ , оччоҕуна вектор $x$ — $b$ вектор коэффициэннарын ыһыллыыларын муһар $A$ матрица столбецтарынан. Матрица тылыгар линейнай тэҥнэбил суоттанарыгар көҥүл усулуобуйата баар теоремы Кронекера-Капелли:

A

матрица рангата

[A|b]

матрица расширеннай рангатыгар тэҥ,

$A$ столбецтан уонна $b$ столбецтан турар.

Линейнай кубулуйуулар

${\mathcal {A}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ линейнай кубулуйууну көрүөххэ, $n$ -мернай векторнай пространства $\mathbb {R} ^{n}$ в $m$ -мерное векторное пространство $\mathbb {R} ^{m}$ :

\left\{{\begin{array}{rcl}y_{1}&=&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}\\y_{2}&=&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}\\&\cdots &\\y_{m}&=&a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}\\\end{array}}\right.

.

Матрица форматынан:

y=Ax

.

$A$ матрица - линейнай кубулуйуу коэффициэннарын матрицалара. ${\mathcal {A}}$ Если рассмотреть действие линейного преобразования ${\mathcal {A}}$ на векторы вида

e_{j}=(0,\dots ,0,1_{j},0,\dots ,0)^{T},\quad j={\overline {1,n}}

,

составляющие базис пространства $\mathbb {R} ^{n}$ , то ${\mathcal {A}}\mathbf {e} _{j}$ — это есть j-ый столбец матрицы $A$ . Таким образом, матрица $A$ полностью описывает линейное преобразование ${\mathcal {A}}$ , и, поэтому, называется матрицей линейного преобразования.

Быһаарыы

Көнө муннук матрица

Икки конечнай матрциа баар:

строкалар нүөмэрдэрэ: $M=\{1,2,\dots ,m\}$ ;
столбецтар нүөмэрдэрэ: $N=\{1,2,\dots ,n\}$ , манна $m$ уонна $n$ — натуральнай чыыһылалар.

Матрица $A$ размердаах $m\times n$ (читается $m$ на $n$ ) ( $m$ - строк, $n$ - столбцов) элеменнардаах из некоторого кольца или поля ${\mathcal {K}}$ отображение вида $A\colon M\times N\to {\mathcal {K}}$ . Матрица суруллар.

{\textstyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &a_{ij}&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},}

где элемент матрицы $a_{ij}=a(i,j)$ находится на пересечении $i$ -й строки и $j$ -го столбца.

$i$ -я строка матрицы ${\textstyle A(i,)={\begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\end{pmatrix}};}$
$j$ -й столбец матрицы ${\textstyle A(,j)={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}.}$

Манна матрица элеменын ахсаана $m\cdot n$ тэҥнэһэр. В соответствии с этим

каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в $n$ -мерном координатном пространстве ${\mathcal {K}}^{n}$ ;
каждый столбец матрицы — как вектор в $m$ -мерном координатном пространстве ${\mathcal {K}}^{m}$ .

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве ${\mathcal {K}}^{mn}$ , имеющем размерность $mn$ . Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Квадратнай матрица

Өскөтүн матрицаҕа $m$ строка ахсаана кини $n$ столбеһын ахсаанын кытта тэҥнэһэр буоллаҕына, инник матрица квадратнай диэн ааттанар, онтон $m=n$ квадратнай матрица размерынан эбэтэр бэрээдэгинэн ааттанар.

Строка-вектор уонна столбец-вектор

Матрицы размера $m\times 1$ и $1\times n$ являются элементами пространств ${\mathcal {K}}^{m}$ и ${\mathcal {K}}^{n}$ соответственно:

матрица размера $m\times 1$ называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:

\mathrm {colon} \,(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{m})=\left({\begin{array}{c}a_{1}\\\vdots \\a_{i}\\\vdots \\a_{m}\end{array}}\right)=(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{m})^{T};

матрица размера $1\times n$ называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:

\mathrm {row} \,(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n})=(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n});

Матрица элементарнай кубулуйуулара

Сүрүн ыстатыйа: Элементарные преобразования матрицы

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

Умножение строки на число отличное от нуля,
Прибавление одной строки к другой строке,
Перестановка местами двух строк.

Элементарные преобразования столбцов матрицы определяются аналогично.

Матрица рангата

Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств:

столбцы матрицы $A$ составляют элементы пространства размерности $m$ ;
строки матрицы $A$ составляют элементы пространства размерности $n$ .

Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Бэлиэлэрэ

Матрицаны алфавит улахан буукубатынан суруйаллар: холобур

A\colon M\times N\to {\mathcal {K}},

оччоҕуна $A$ — матрица, көнө массив элеменнара поле ${\mathcal {K}}$ араас $a_{ij}=A(i,j)$ , ханна

бастакы индекс строка индексын көрдөрөр: $i={\overline {1,m}}$ ;
иккис индекс столбец индексын көрдөрөр: $j={\overline {1,n}}$ ;

маннык гынан, $a_{ij}$ — матрица элемена $A$ , $i$ -й строка уонна $j$ столбец быһа охсуһуутугар сытар. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера $m\times n$ :

A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n},

или просто

A=(a_{ij}),

если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.

Иногда, вместо $a_{ij}$ , пишут $a_{i,j}$ , чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.

Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида

{\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},\quad \left[{\begin{array}{ccccc}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right],\quad \left\|{\begin{array}{ccccc}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right\|

Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»).

Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:

a_{i\cdot }=A_{i}=[{\begin{array}{ccccc}a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\end{array}}]

— это

i

-я строка матрицы

A

,

а

a_{\cdot j}=A^{j}=\left[{\begin{array}{c}a_{1j}\\\vdots \\a_{ij}\\\vdots \\a_{mj}\\\end{array}}\right]

— это

j

-й столбец матрицы

A

.

Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по столбцам:

A=[{\begin{array}{ccccc}A^{1}&\cdots &A^{j}&\cdots &A^{n}\\\end{array}}]

и по строкам:

A=\left[{\begin{array}{c}A_{1}\\\vdots \\A_{i}\\\vdots \\A_{m}\\\end{array}}\right]

.

Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.

Транспонированнай матрица

Хас биир матрицаҕа $A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}$ размера $m\times n$ матрица тутуохха сөп $B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{smallmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}}$ размера $n\times m$ , у которой $b_{j,i}=a_{i,j}$ для всех $i={\overline {1,m}}$ и $j={\overline {1,n}}$ . Маннык матрица транспортированнай диэн ааттанар, уонна $A^{T}$ маннык суруллар. При транспонировании строки (столбцы) матрицы $A$ становятся столбцами (соответственно - строками) матрицы $A^{T}$ . $(A^{T})^{T}=A$ . Для матриц над кольцом ${\mathcal {K}}$ транспонирование является изоморфизмом ${\mathcal {K}}$ - модулей матриц, поскольку

(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}

,

(\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot (A^{T})

, для любых

\lambda \in {\mathcal {K}}

.

Диагональнай матрица

Диагональнай матрица диэн - квадратнай матрица, ол гынан кини элеменнара - нулевые $(i\neq j:a_{ij}=0)$ , иногда записывается как:

\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).

Единичнай матрица

Единичнай матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

\mathrm {diag} (1,1,\dots ,1).

Для её обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом). Для обозначения её элементов также используется символ Кронекера $\delta _{ij}$ , определяемый как:

\delta _{ii}=1

\delta _{ij}=0

при

i\neq j.

Нулевой матрица

Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении её с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например $\Theta$ .

Матрицаны кытта үлэлээһин

Матрица эбиитэ

Тэҥ размердаах эрэ матрицалары эбиэххэ сөп. Тэҥ размердаах эрэ матрицалары эбиэххэ сөп. Матрицалар эбсиилэрэ $A+B$ диэн $C$ матрицаны булааһын буолар, бары элеменнара попарнай эбсиилэригэр бары элементов матриц $A$ и $B$ , ол аата хас биир матрица элеменэ $C$ тэҥнэһэр

\ c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

Матрица эбсиитин свойстволара:

коммутативность: A+B = B+A;
ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);
нулевой матрицаны кытта эбсии: A + Θ = A;
противоположнай матрица: A + (-A) = Θ;

Бары свойствалар линейных операций аксиомалары хатылыыллар линейного пространства ол иһин маннык теорема баар:

Элбэх тэҥ размердаах матрицалар mxn полеттан P элеменнэрдээх (поля всех действительных эбэтэр комплексных чисел) линейное пространство Р поле үрдүнэн уөскэтэллэр (хас-биир маннык матрица бу эйгэ вектора буолар).

Матрицаны чыыһылаҕа төгүллээһин

$A$ Матрицаны $\lambda \in {\mathcal {K}}$ чыыһылаҕа төгүллээһинэ маннык буолар $\lambda A=(\lambda a_{ij})$ .

Свойства умножения матриц на число:

умножение на единицу: 1A = A;
ассоциативность: (λβ)A = λ(βA);
дистрибутивность: (λ+β)A = λA + βA;
дистрибутивность: λ(A+B) = λA + λB;

Матрицалар төгүллэрэ

200px|right Умножение матриц (обозначение: $AB$ , реже со знаком умножения $A\times B$ ) — есть операция вычисления матрицы $C$ , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}

Количество столбцов в матрице $A$ должно совпадать с количеством строк в матрице $B$ , иными словами, матрица $A$ обязана быть согласованной с матрицей $B$ . Если матрица $A$ имеет размерность $m\times n$ , $B$ — $n\times k$ , то размерность их произведения $AB=C$ есть $m\times k$ . Свойства умножения матриц:

ассоциативность: (AB)C = A(BC);
некоммутативность (в общем случае): AB $\neq$ BA;
произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;
дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Векторы матрицаҕа төгүллээһин

Матрица быраабылатынан матричнай төгүл матрица хаҥас столбец векторыттан саҕаланар, уонна вектор-строка уҥа матрицаҕа төгуллэнэр. Вектор-столбец уонна вектор-строка элеменнарын биир индексынан суруйуохха сөбүн иһин бу төгүлү маннык суруйуохха сөп: столбец-векторга v (получая новый вектор-столбец Av):

(Av)_{i}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}v_{k},

строка-векторга s (получая новый вектор-строку sA):

(sA)_{i}=\sum _{k=1}^{n}s_{k}a_{ki}.

Вектор-строка, матрица уонна вектор-столбец бэйэ-бэйэлэригэр төгүллэниэхтэрин сөп, скалярнай чыыһыла биэрэллэр:

sAv=\sum \limits _{k,i}s_{k}a_{ki}v_{i}.

(Бэрээдэгэ наадалаах: вектор-строка слева, вектор-столбец матрицаттан уҥа).

Бу дьайыылар матричнай представление линейнэй оператордарын уонна координататын линейнэй кубулуйуутун основата буолар.

При представлении вектора вещественного векторного пространства в ортонормированном базисе (что эквивалентно использованию прямоугольных декартовых координат) соответствующие ему вектор-столбец и вектор-строка, представляющие собой набор компонент вектора, будут совпадать (поэлементно), отличаясь лишь формально своим изображением для корректности матричных операций (то есть один получается из другого просто операцией транспонирования). При использовании же неортонормированных базисов (например, косоугольных координат или хотя бы разных масштабов по осям) вектор-столбец соответствует компонентам вектора в основном базисе, а вектор-строка — в базисе, дуальном основному^[1] (Иногда о пространстве векторов-строк говорят также как об особом, дуальном пространству векторов-столбцов, пространстве ковекторов).

Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения (см.тж.в статье об умножении матриц) является именно введение их, начиная с умножения вектора на матрицу (которое вводится исходя из преобразований базиса или вообще линейных операций над векторами), а уже затем композиции преобразований сопоставляется произведение матриц. Действительно, если новый вектор Av, полученный из исходного вектора v преобразованием, представимым умножением на матрицу A, преобразовать теперь ещё раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу B, получив B(Av), то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа (используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования), нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы (BA), представляющую композицию первого и второго преобразований, и совпадающую с обычным определением матричного умножения.

Комплекснай сопряжение

Өскөтүн матрица элеменнарынан $A=(a_{ij})$ комплекснай чыыһылалар буолар буоллахтарына, комплексно сопряжённай матрица тэҥнэһэр ${\bar {A}}=({\bar {a}}_{i,j})$ . Манна ${\bar {a}}$ — чыыһыла, комплексно сопряжённое к $a$ .

Транспонирование уонна эрмитово сопряжение

Транспонирование үөһээ көрүллүбүтэ: өскөтүн $A=(a_{ij})$ , оччоҕуна $A^{T}=(a_{ji})$ . Комплекснай матрицаларга быдан барсар эрмитово сопряжение: $A^{*}={\bar {A}}^{T}$ . Матрицаны операторнай өттүттэн көрдөххө, транспонированнай уонна эрмитово сопряжённай матрица — диэн оператор матрицалара, сопряжённого холоонноох скалярного эбэтэр эрмитова төгүллэр, сөптөөхтүк.

Туттуллубут айымньылар

Беллман Р. "Матрица теориятыгар киллэрии" - 1969 с. Москва
Биркгоф Г. (Garrett Birkhoff), Барти Т. (Thomas C. Bartee) аныгы прикладной алгебра - 1979 с. Москва
Ван дер Варден Б. Л. (B. L. van der Waerden) Алгебра. (2-е изд.) - 1979 с. Москва
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.- 5-е изд. - 2004 с. Москва
Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матрица суоттааһыннара - 1999 с. Москва
Курош А. Г. Үрдүк алгебра курса (9-е изд.) - 1968 с. Москва
Курош А. Г. Уобсай алгебраҕа лекциялар - 1979 с. Москва
Ланкастер П. (P. Lankaster) Матрица теорията - 1982 с. Москва
Ленг С. (Serge Lang) Алгебра. - 1968 с. Москва
Наймарк М. А. Группаны көрдөрүү теорията - 1976 с. Москва
Соколов Н. П. Пространственнай матрицалар уонна кинини туттуу - 1960 с. Москва
Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матрица аналиһа - 1989 с. Москва
Халмош П. Конечномернай векторнай эйгэлэр - 1963 с. Москва

↑ Формально в этом определении всё симметрично, и можно было бы поменять «основной» и дуальный базис местами (они оба просто взаимно дуальны), однако принято именно описанное соглашение.

[1] Формально в этом определении всё симметрично, и можно было бы поменять «основной» и дуальный базис местами (они оба просто взаимно дуальны), однако принято именно описанное соглашение.

[1]