Дискриминант

Дискримина́нт элбэх чилиэннээх,

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$, $a_{n}\neq 0$ол аата төгүллээһин,$D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$ханна $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$- бары төрүт элбэх чилиэннэрэ ( кратноһын учуоттаан) сорох кэҥиир сүрүн хонуутугар, кинилэр баар сирдэригэр.

Үксүгэр элбэхтик дискриминант үс чилиэннээх квадратнай үөскэмэ туттуллар^[⇨], бэлиэтэ дьиҥнээх төһө төрүт баарын быһаарар.

Араастара

• Дискриминант нуулга тэҥнэһэр оччотугар, оччотугар эрэ элбэх чилиэн кратнай төрүттээх буоллаҕына.
• Дискриминант тэҥ быһыылаах элбэх чилиэннээх буолар табыгастаах элбэх чилиэннэх төрүккэ, ол иһин элбэх чилиэн буолар кинилэр коэффициенарыттан; ол үрдүнэн, элбэх чилиэн коэффициеннара сыалай буолар, кинилэр кэҥээһиннэриттэн тутулуга суох, ылыллар төрүттэриттэн. ханна- элбэх чилиэн результана уонна кини үөскэтэбилиттэн.
• $D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')$ ханна $R(p,p')$ - элбэх чилиэн результана $p(x)$ уонна кини үөскэтибилэ $p'(x)$
• Чааһынайынан, элбэх чилиэннээх дискриминана.

$p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$тэҥнэһэр чуолкайдык кини бэлиэтигэр дылы батыһыыта $(2n-1)\times (2n-1)$- матрицалар:

Холобурдар

Бу бэриллэр кэлэр холобурдарга элбэх чилиэннэр маллардаах коэффиценнара уонна нуултан атыннаах үрдүк коэффициеннаахтар көрүллэллэр.

Элбэх чилиэн иккис степэнэ

Үс чилиэннээх квадратнай дискриминана тэҥ: $ax^{2}+bx+c$ тэҥнэһэр $D=b^{2}-4ac.$

• Маллаах төрүтүгэр $D>0$- икки уонна кинилэр пуормуланан суоттаналлар:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

• Биир төрүттээх $D=0$( сорох тардыыларыгар икки тэҥ эбэтэр сөп түбэһэр төрүтүгэр), кратноһа 2:

$x={\frac {-b}{2a}}$

.

• Мала суох төрүтүгэр $D<0$. Икки комплекснай төрүт баар буоллаҕына, бу пуормуланан таһаарыллар буоллаҕына (1) (төрүтү таһаарыы минусовой чыыһылаттан туттуллубат буоллаҕына), эбэтэр пуормуланан:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}$

Элбэх чилиэн үһүс степэнэ

Элбэх чилиэннээх дискриминант кууба $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ тэҥнэһэр- $D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.$

Чааһынайынан, элбэх чилиэн кууба $x^{3}+px+q$ (төрүтэ Кардано пуормуланан суоттаныллар) тэҥ: $-27q^{2}-4p^{3}$

• Элбэх чилиэннээх кууба $D>0$ үс атын маллаах төрүттээх буоллаҕына.
• Кини кратнай төрүттээх $D=0$ (эбэтэр биир төрүтэ 2 кратнай уонна биир төрүтэ 1 кратнай, анарааҥҥыта уонна биирэ маллаах, эбэтэр биир суос-соҕотох төрүтэ 3 кратнай).
• Элбэх чилиэн кууба $D<0$ биир маллаах төрүттээх буоллаҕына уонна икки комплекснай төрүттээх (комплексно-сыһыарыллыбыт буолуохтаах).

Элбэх чилиэн төрдүс степэнэ

Элбэх чилиэн төрдүс степэнэ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ тэҥ:

${\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}$

Элбэх чилиэн дискриминана $x^{4}+qx^{2}+rx+s$маннык көрүҥнээх: $D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}$

уонна тэҥнэһии $D=0$ куйаарга үрдүн быһаарар $(q,r,s)$ хараҥаччы кутуруга диэн ааттаах.

• $D<0$Элбэх чилиэн икки араас маллаах төрүттээх буоллаҕына уонна икки комплекснай төрүттээх.
• $D>0$Элбэх чилиэн түөрт атын төрүттээх: эбэтэр бары комплекснай буоллахтарына.

Ол курдук элбэх чилиэҥҥэ ааттаан: $x^{4}+qx^{2}+rx+s$

·        өскөтүн $q\geqslant 0$, бары төрүтэ комплекснайдар,

·        өскөтүн $q<0$ уонна $s>{\frac {q^{2}}{4}}$бары төрүттэрэ комплекснайдар,

·        өскөтүн $q<0$, $s<{\frac {q^{2}}{4}}$бары төрүттэрэ маллаахтар.

·        $D=0$ Элбэх чилиэн кырата биир кратной төрүттээх буоллаҕына (маллаах эбэтэр комплекснай). Иккис түбэлтэтигэр элбэх чилиэн икки сыһыарыллыбыт кратнай комплекснай төрүттээх, онон икки төгүллэммит элбэх чилиэн иккис степэнигэр араарыллар, маллаах чыыһылалар хонууларын үрдүгэр бэриллибэт.

Чуолкайдык эттэххэ:

·        өскөтүн $q<0$уонна $s>{\frac {q^{2}}{4}}$, ол аата биир маллаах төрүт 2 кратнай уонна икки комплекснай төрүттээх,

·        өскөтүн $q<0$ уонна $-{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}$, ол аата үс тус-туспа маллаах төрүт, онтон биирдэстэрэ 2 кратнай,

·        өскөтүн $q<0$уонна $s={\frac {q^{2}}{4}}$, ол аата икки маллаах төрүт, хас биирдиилэрэ 2 кратнай,

·        өскөтүн $q<0$ уонна $s=-{\frac {q^{2}}{12}}$, ол аата икки маллаах төрүт, онтон биирэ 3 кратнай,

·        өскөтүн $q>0$, $s>0$ уонна $r\neq 0$ , ол аата биир маллаах төрүт 2 кратнай уонна икки комплекснай төрүттээх,

·        өскөтүн $q>0$, $s={\frac {q^{2}}{4}}$ уонна $r=0$ ол аата биир паара сыһыарыллыбыт төрүт 2 кратнай,

·        өскөтүн $q>0$ уонна $s=0$, ол аата биир маллаах төрүт 2 кратнай уонна икки комплекснай төрүттээх,

·        өскөтүн $q=0$ уонна $s>0$ биир маллаах төрүт 4 кратнайдаах буоллаҕына.

Остуоруйата

Бу тиэрмин латыынныы тылтан discrimino — «ыһабын», «араарабын» диэн өйдөбүллээх. Бу өйдөбүллэр Гаусс, Дедекинд, Кронекер, Вебер уонна да атын ученайдар үлэлэригэр туттуллубуттара.Тиэрмини Сильвестр киллэрбитэ.

Атыттары көр

·       Результант

Айымньылар

·       Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.

Быһаарыылар

1.   ↑ Rees, E. L. (1922). “Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation”. The American Mathematical Monthly. 29 (2): 51—55. DOI:10.2307/2972804

2.   ↑ Matrices and Determinants — Numericana